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<title>Randelementmethode</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Randelementmethode</span></h1>

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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Randelementmethode</b> (REM, englisch <i>boundary element method</i>, <i>BEM</i>, v. a. in der <a href="Elektrotechnik" title="Elektrotechnik">Elektrotechnik</a> auch <a href="Momentenmethode_(Elektrotechnik)" title="Momentenmethode (Elektrotechnik)">Momentenmethode</a>, englisch <i>MoM</i>, <i>method of moments</i>) ist ein <a href="Diskretisierung" title="Diskretisierung">Diskretisierungsverfahren</a> zur Berechnung von <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangs-</a> und <a href="Randwertproblem" title="Randwertproblem">Randwertproblemen</a> mit <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> und ein <a href="Numerische_Berechnung" class="mw-redirect" title="Numerische Berechnung">numerisches Berechnungsverfahren</a> in den <a href="Ingenieurwissenschaften" title="Ingenieurwissenschaften">Ingenieurwissenschaften</a>. Als Vater der Randelementmethode wird <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbereiche">Anwendungsbereiche</h2></div>

<p>Die Randelementmethode lässt sich in vielen Gebieten anwenden, z. B. für

</p>

<ul><li>elektrische Feldprobleme (<a href="Elektrostatik" title="Elektrostatik">Elektrostatik</a>) und <a href="Elektromagnetismus" class="mw-redirect" title="Elektromagnetismus">Elektromagnetismus</a></li>

<li>thermische Feldprobleme (stationäre und <a href="Transient" class="mw-disambig" title="Transient">transiente</a> <a href="W%C3%A4rmeleitung" title="Wärmeleitung">Wärmeleitung</a>)</li>

<li>mechanische Feldprobleme (Elastomechanik), <a href="Festk%C3%B6rpermechanik" class="mw-redirect" title="Festkörpermechanik">Festkörpermechanik</a>, <a href="Bruchmechanik" title="Bruchmechanik">Bruchmechanik</a> und <a href="Plastizit%C3%A4t_(Physik)" title="Plastizität (Physik)">Plastizität</a></li>

<li><a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a> im Frequenz- und <a href="Zeitbereich" class="mw-redirect" title="Zeitbereich">Zeitbereich</a>.</li></ul>

<p>Im Bereich <a href="Numerische_Str%C3%B6mungsmechanik" title="Numerische Strömungsmechanik">Numerische Strömungsmechanik</a> (CFD) wird die Randelementmethode weniger oft verwendet.

</p><p>Die REM hat sich etwa parallel mit der <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Methode</a> (FEM) entwickelt. Bei den meisten Fragestellungen ist jedoch die FEM weiter verbreitet, weil sie weniger Restriktionen bezüglich der Eigenschaften des zu beschreibenden Gebietes aufweist (im Falle der <a href="Elastizit%C3%A4tstheorie" title="Elastizitätstheorie">Elastizitätstheorie</a> von <a href="Kontinuum_(Physik)" title="Kontinuum (Physik)">Kontinua</a> sind das z. B. kleine <a href="Verformung" title="Verformung">Verformungen</a>/Verzerrungen und <a href="Linear-elastisches_Verhalten" class="mw-redirect" title="Linear-elastisches Verhalten">linear-elastisches Verhalten</a>).

</p><p>Weil die Randelementmethode für das Beispiel der <a href="Elastizit%C3%A4t_(Physik)" title="Elastizität (Physik)">elastischen</a> Kontinua auf den Green'schen Einflussfunktionen basiert, stellt sie gegenüber der FE-Methode eine verbesserte Lösung dar.

</p><p>Die Randelementemethode kann sehr effizient und elegant mit der Methode der finiten Elemente gekoppelt werden (REM-FEM-Kopplung).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktionsweise">Funktionsweise</h2></div>

<p>Bei der Randelementmethode wird, im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode, nur der <a href="Rand_(Topologie)" title="Rand (Topologie)">Rand</a> bzw. die Oberfläche eines Gebietes oder einer Struktur diskretisiert betrachtet, nicht jedoch deren Fläche bzw. Volumen. Die unbekannten <a href="Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Zustandsgröße">Zustandsgrößen</a> befinden sich nur auf dem Rand.

</p><p>Mit Hilfe von Sprungrelationen werden die partiellen Differentialgleichungen zu <a href="Integralgleichung" title="Integralgleichung">Integralgleichungen</a> umgewandelt, welche die Eigenschaften des gesamten Gebietes abbilden. Diese Integralgleichungen werden dann mit einer Technik, die der FEM ähnelt, diskretisiert und numerisch gelöst. Die Randelementmethode nutzt die Zusammenhänge aus den <a href="Integralsatz" title="Integralsatz">Integralsätzen</a> nach <a href="Satz_von_Green" title="Satz von Green">Green</a>, <a href="Gau%C3%9Fscher_Integralsatz" title="Gaußscher Integralsatz">Gauss</a> und <a href="Satz_von_Stokes" title="Satz von Stokes">Stokes</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Numerische_Eigenschaften">Numerische Eigenschaften</h2></div>

<p>Weil die Randelementmethode nur den Rand und nicht das Volumen eines Gebietes betrachtet, ist bei ihr die Anzahl der diskreten <a href="St%C3%BCtzstelle" title="Stützstelle">Stützstellen</a> (Knoten) und damit der <a href="Parameter_(Mathematik)" title="Parameter (Mathematik)">Freiheitsgrade</a> wesentlich niedriger als bei der FEM und auch als bei der <a href="Finite-Differenzen-Methode" title="Finite-Differenzen-Methode">Finite-Differenzen-Methode</a> (FDM). Allerdings erhält man ein vollbesetztes, asymmetrisches <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">lineares Gleichungssystem</a>, was die Wahl des Lösungsalgorithmus einschränkt bzw. erschwert und den Vorteil der geringeren <a href="Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Anzahl der Freiheitsgrade</a> (teilweise) kompensiert.

</p><p>Die REM wird daher vorteilhaft in Fällen eingesetzt, bei denen die FEM zu hohem numerischen Aufwand führt, beispielsweise:

</p>

<ul><li>bei <a href="Halbraum" title="Halbraum">Halbraum</a>-Kontaktproblemen, bei denen sich der Halbraum bis ins Unendliche erstreckt (z. B. ein elastisch gebettetes <a href="Fundament" title="Fundament">Fundament</a>)</li>

<li>bei der Lösung von Differentialgleichungen auf Außengebieten. Ein eher akademisches Beispiel hierfür wäre die Lösung des <a href="Laplaceoperator" class="mw-redirect" title="Laplaceoperator">Laplaceoperators</a> in einem Außengebiet; bei Verwendung der FEM zur Lösung dieses Problems müssten zusätzliche künstliche <a href="Randbedingungen" class="mw-redirect" title="Randbedingungen">Randbedingungen</a> eingeführt werden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.boundary-element-method.com/">The Boundary Element Method</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sam.math.ethz.ch/betl">Boundary Element Template Library</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.olemiss.edu/sciencenet/benet/">Boundary Element Resources Network (Links zu Büchern, Programmen, Zeitschriften, Konferenzen)</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bembel.eu">Bembel</a> Eine 3D, isogeometrische, higher-order, open-source BEM Software für Laplace, Helmholtz und Maxwell Probleme</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bempp.org">BEM++</a>, Eine open-source BEM Software für 3D Laplace, Helmholtz und Maxwell Probleme</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://acousto.sourceforge.net/">AcouSTO</a> Acoustics Simulation TOol, open-source parallel BEM solver für Kirchhoff-Helmholtz Integral Equation (KHIE)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>L. C. Wrobel, M. H. Aliabadi: <i>The Boundary Element Method</i>, April 2002, ISBN 0-470-84139-7</li>

<li><a href="Lothar_Gaul" title="Lothar Gaul">L. Gaul</a> und C. Fiedler: <i>Methode der Randelemente in Statik und Dynamik</i>, Vieweg ISBN 3528067810</li>

<li>F. Hartmann: C. Katz: <i>Structural Analysis with Finite Elements</i>, Springer-Verlag ISBN 3-540-40416-3</li>

<li>C. Pozrikidis: <i>A practical guide to boundary element methods with the software library</i>, BEMLIB, ISBN 1-58488-323-5</li>

<li>W. McLean: <i>Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations</i>, Cambridge University Press</li>

<li>S. Sauter, C. Schwab: <i>Randelementmethoden. Analyse, Numerik und Implementierung schneller Algorithmen</i>, Vieweg+Teubner</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zeitschriften">Zeitschriften</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.elsevier.com/locate/enganabound">Engineering Analysis with Boundary Elements</a>, Elsevier <span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220955-7997%22&key=cql">0955-7997</a></span></span></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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